Question

已知數列{b_n}是等差數列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145(n∈N₊)

(1)求數列{b_n}的通項.

（2）設數列{a_n}的通項a_n=log_a(1+)(其中a＞0且a≠1),記S_n是數列{a_n}的前n項和，試比較S_n與log_ab_n+1的大小，并證明你的結論.

Answer 1

解：(1)設數列{b_n}的公差為d,

由題意，得10×1+×d=145,

∴d=3,b_n=3n-2.

(2)由b_n=3n-2知,

S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)

=log_a［(1+1)(1+)…(1+)］,

log_ab_n+1=log_a.

因此要比較S_n與log_ab_n+1的大小，可先比較（1+1）(1+)…(1+)與的大小.

取n=1,有(1+1)＞,

取n≥2，有(1+1)(1+)…(1+)＞.

下面用數學歸納法證明之：

①當n=1時，已驗證不等式成立.

②假設當n=k(k∈N ₊)時，不等式成立，

即(1+1)(1+)…(1+)＞,

則當n=k+1時,

(1+1)(1+)…(1+)［1+］＞(1+)

=·(3k+2).

∵［(3k+2)］³-()³

=＞0.

∴+1·(3k+2)＞=.

因此(1+1)(1+)…(1+)［1+］＞.

這說明，當n=k+1時，不等式也成立.

由①②知，對一切n∈N ₊,不等式(1+1)(1+)…(1+)＞都成立.

再由對數的性質，可得：

當a＞1時，S_n＞log_ab_n+1;

當0＜a＜1時,S_n＜log_ab_n+1.