已知橢圓C：的一個焦點是（1，0），兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點Q（4，0）且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點，設點A關于x軸的
對稱點為A1．求證：直線A1B過x軸上一定點，并求出此定點坐標．

（1）；（2）定點（1，0）．

解析試題分析：（1）求橢圓C的方程，由題意，焦點坐標為，可求得，再根據(jù)橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形．由等邊三角形的性質，可求得和的關系式，可求得，進而求得，則橢圓的方程可得；（2）求證：直線過軸上一定點，并求出此定點坐標．這是過定點問題，這類題的處理方法有兩種，一．可設出直線方程為，然后利用條件建立等量關系進行消元，借助于直線系的思想找出定點．二．從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關．本題可設直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立消去，設出，，則可利用韋達定理求得和的表達式，根據(jù)點坐標求得關于軸對稱的點的坐標，設出定點，利用求得，從而得證．
試題解析：（1）橢圓C：的一個焦點是（1，0），所以半焦距，又因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形，所以，解得，所以橢圓C的標準方程為；·           ５分

（2）設直線：與聯(lián)立并消去得：
.
記，，，
.            8分
由A關于軸的對稱點為，得，根據(jù)題設條件設定點為（，0），
得，即.
所以
即定點（1，0）.     13分
考點：橢圓的簡單性質；橢圓的標準方程；直線與圓錐曲線的綜合問題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動點P到點A(－2,0)與點B(2,0)的斜率之積為－，點P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；
(2)若點Q為曲線C上的一點，直線AQ，BQ與直線x＝4分別交于M，N兩點，直線BM與橢圓的交點為D.求證，A，D，N三點共線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知點，動點在軸上的正射影為點，且滿足直線.
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）當時，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：經(jīng)過點，.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左、右焦點分別為，過點的直線交橢圓于兩點，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：（）過點，且橢圓的離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若動點在直線上，過作直線交橢圓于兩點，且為線段中點，再過作直線.證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知是拋物線上的兩個點，點的坐標為，直線的斜率為.設拋物線的焦點在直線的下方.
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設C為W上一點，且，過兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為. 判斷四邊形是否為梯形，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知兩點，直線AM、BM相交于點M，且這兩條直線的斜率之積為.
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）記點M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點P的橫坐標為1，直線PE、PF與圓（）相切于點E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點分別為Q、R.
求△OQR的面積的最大值（其中點O為坐標原點）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

橢圓與雙曲線有公共的焦點，過橢圓E的右頂點作任意直線l，設直線l交拋物線于M、N兩點，且．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點，點P關于原點O的對稱點為A、關于x軸的對稱點為Q，線段PQ與x軸相交于點C，點D為CQ的中點，若直線AD與橢圓E的另一個交點為B，試判斷直線PA，PB是否相互垂直？并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設橢圓的左、右頂點分別為、，離心率．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點C的軌跡E的方程；
（3）設直線MN過橢圓的右焦點與橢圓相交于M、N兩點，且，求直線MN的方程.

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