Question

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F(1,0)，且離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線交y軸于點(diǎn)P(0，y₀)，求y₀的取值范圍．

Answer 1

(1) ＋＝1. (2)

試題分析：解：(Ⅰ)設(shè)橢圓C的半焦距是c.依題意，得c＝1.
因?yàn)闄E圓C的離心率為，
所以a＝2c＝2，b²＝a²－c²＝3.   2分
故橢圓C的方程為＋＝1.   3分
(Ⅱ)當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，顯然y₀＝0.   4分
當(dāng)MN與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線MN的方程為
y＝k(x－1)(k≠0)．  5分
由
消去y并整理得(3＋4k²)x²－8k²x＋4(k²－3)＝0.   6分
設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，線段MN的中點(diǎn)為Q(x₃，y₃)，
則x₁＋x₂＝.
所以x₃＝＝，y₃＝k(x₃－1)＝.  8分
線段MN的垂直平分線的方程為
y＋＝－.
在上述方程中，令x＝0，得y₀＝＝.  9分
當(dāng)k<0時(shí)，＋4k≤－4；當(dāng)k>0時(shí)， ＋4k≥4.
所以－≤y₀<0或0<y₀≤.  11分
綜上，y₀的取值范圍是.  12分
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于橢圓方程的求解主要是根據(jù)其性質(zhì)滿足的的a,b,c的關(guān)系式來(lái)解得，同時(shí)對(duì)于直線與橢圓的相交問(wèn)題，一般采用聯(lián)立方程組的思想，結(jié)合韋達(dá)定理和判別式來(lái)分析參數(shù)的范圍等等，或者研究最值，屬于中檔題。