Question

如圖，已知橢圓

x2

4

+

y2

4 3

=1的弦PB過其中心O，點A是橢圓的右頂點，滿足

PA

•

PB

=0，|

PB

|=2|

PA

|．
（Ⅰ）求點P的坐標；
（Ⅱ）若橢圓上存在兩點C、D（異于A、B兩點），且(

PC

| PC |

+

PD

| PD |

)•

OA

=0，問是否存在實數(shù)λ使得

AB

=λ

CD

，說明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出P的坐標，則題意知△OPA是以P為直角頂點為直角三角形，得到關(guān)于x，y的方程組，解得P的坐標．
（II）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在λ，使得

AB

=λ

CD

，設(shè)直線PC：y-1=k（x-1），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程組即可求得C，D的坐標，利用斜率公式從而解決問題．

解答：解：（I）由題意知△OPA是以P為直角頂點為直角三角形，設(shè)P（x，y），
則

x2 4 + y2 4 3 =1&  x2+y2=(x-2)2+y2

解得

x=1 y=1

，
即點P為（1，1）…（5分）
（II）存在λ，使得

AB

=λ

CD

，
由(

PC

| PC |

+

PD

| PD |

)•

OA

=0知∠CPD的平分線垂直于OA，
則k_PC=-k_PD∵（1，1），則直線PC：y-1=k（x-1），
聯(lián)立方程組

y-1=k(x-1) x2 4 + y2 4 3 =1

解得C(

3k2-6k-1

3k2+1

，

-3k2-2k+1

3k2+1

)
直線PD：y-1=-k（x-1），
易得D(

3k2+6k-1

3k2+1

，

-3k2+2k+1

3k2+1

)
∴kCD=

-3k2-2k+1 3k2+1

3k2-6k-1 3k2+1

-

3k2+2k+1 3k2+1

3k2+6k-1 3k2+1

=

1

3

又P（1，1），則B（-1，-1）∴kAB=

1

3

，∴CD=AB
故存在λ使

AB

=λ

CD

…（14分）

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．