【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))恰有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;(2).
【解析】
(1)先根據(jù)題意求得函數(shù)的定義域,再對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)先將函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在上恰有一解,然后換元,構(gòu)造函數(shù),利用分類(lèi)討論思想進(jìn)行求解,也可分離參數(shù),構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的圖象,數(shù)形結(jié)合即可求解.
(1)由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,則,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.
(2)解法1、由函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于方程在上恰有一解,即方程在上恰有一解,
令,易知在上單調(diào)遞增,
且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以,
所以方程在上恰有一解,
記,則.
①當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)單調(diào)遞增,
又當(dāng)時(shí),,且,
所以當(dāng)時(shí),方程在上恰有一解,滿足題意.
②當(dāng)時(shí),方程在上恰有一解,滿足題意.
③當(dāng)時(shí),由,得,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.
又當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
所以當(dāng),即時(shí),方程在上恰有一解.
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為.
解法2、 函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于方程在上恰有一解,即方程在上恰有一解.
令,易知在上單調(diào)遞增,
且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以,
所以方程在上恰有一解,
即方程在上恰有一解.
令,則,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
又當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,且當(dāng)時(shí),,,
所以作出函數(shù)的大致圖象,如圖所示,
數(shù)形結(jié)合可知,或.
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)為直線上一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),且,求面積的最小值.
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(1)求直線及曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)若射線與直線交于點(diǎn),與曲線交于點(diǎn)(與原點(diǎn)不重合),求的最大值.
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【題目】已知函數(shù),且的最小值為.
(1)求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn),.
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
②求證:.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面,,,,是上一點(diǎn),且.
(1)求證:平面;
(2)是的中點(diǎn),若二面角的平面角的正切值為,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】我國(guó)法定勞動(dòng)年齡是周歲至退休年齡(退休年齡一般指男周歲,女干部身份周歲,女工人周歲).為更好了解我國(guó)勞動(dòng)年齡人口變化情況,有關(guān)專(zhuān)家統(tǒng)計(jì)了年我國(guó)勞動(dòng)年齡人口和周歲人口數(shù)量(含預(yù)測(cè)),得到下表:
其中年勞動(dòng)年齡人口是億人,則下列結(jié)論不正確的是( )
A.年勞動(dòng)年齡人口比年減少了萬(wàn)人以上
B.這年周歲人口數(shù)的平均數(shù)是億
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D.年這年周歲人口數(shù)的方差小于這年勞動(dòng)人口數(shù)的方差
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【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值
(2)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍
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【題目】已知函數(shù),其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)
(1)若,求的最小值;
(2)記f(x)的圖象在處的切線的縱截距為,求的極值;
(3)若有2個(gè)零點(diǎn),求證:.
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