Question

在長方體ABCD－中，AB= a，BC= b，=c，求異面直線所成角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解法1 如圖(1)，為經(jīng)過點C作和平行的直線，可以補上一個與已知長方體相同的長方體DCEF－，則BC，從而，相交直線所成的銳角就是異面直線所成的角． 　　在矩形ABCD中，． 　　在Rt△， 　　∴． 　　在矩形． 　　在矩形． 　　在△中，由余弦定理得： 　　cos． 　　(1)當c＞b時，cos∠＞0，這時∠是銳角，∠就是異面直線所成的角； 　　(2)當c＜b時，cos∠＜0，這時∠是鈍角，它的補角是異面直線所成的角； 　　(3)當c=b時，cos． 　　綜上討論，所求異面直線所成角的余弦值等于． 　　解法2 利用三角形的中位線性質來作兩條異面直線的平行線得出兩條相交直線，使它們所成的角就是異面直線所成的角． 　　如圖(2)，是和異面直線都相交的線段．設M是的中點，P，Q分別為BC，的中點，則MP∥，MQ∥，相交直線MP和MQ所成的角就是異面直線所成的角． 　　在△PQM中，MP=， 　　MQ=． 　　由余弦定理可以得到和解法1同樣的結果． 　　說明 通常把解法1稱為補形法，解法2稱為中位線法．它們是求異面直線所成角的兩種常用方法．