Question

設(shè)函數(shù)f(x)=a-

1

2x+1

（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)，f（x）是增函數(shù)
（2）確定a的值，使f（x）是奇函數(shù)
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求關(guān)于t的不等式f（2t-1）+f（t-2）＜0的解集．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性定義即可證明；
（2）利用奇函數(shù)的定義即可證明；
（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求出．

解答：解：（1）證明：?x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=a-

1

2x1+1

-(a-

1

2x2+1

)=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1＜2x2，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
因此不論a為何實(shí)數(shù)，f（x）是增函數(shù)；
（2）由f（0）=0，解得a=

1

2

，
可以驗(yàn)證：當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f（x）是奇函數(shù)；
（3）由（2）可知：a=

1

2

．
∴f(x)=

1

2

-

1

2x+1

，
∵不等式f（2t-1）+f（t-2）＜0，
∴f（2t-1）＜-f（t-2）=f（2-t），
由（1）可知：函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
∴2t-1＜2-t，
解得t＜1．
∴關(guān)于t的不等式f（2t-1）+f（t-2）＜0的解集是（-∞，1）．

點(diǎn)評：熟練掌握函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．