Question

3．P是△ABC內(nèi)一點，△ACP，△BCP的面積分別記為S₁，S₂，已知$\overrightarrow{CP}=\frac{3λ}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{CB}$，其中λ∈（0，1），則$\frac{S_1}{S_2}$=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 可以得到$\overrightarrow{CP}=\frac{λ}{4}（3\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，而λ∈（0，1），從而可以作圖：延長CA到D，使得CD=3CA，并連接BD，延長CP交于BD的中點E，根據(jù)三角形的面積公式便可得到，${S}_{1}=\frac{1}{3}•\frac{λ}{4}•{S}_{△CDE}，{S}_{2}=\frac{λ}{4}•{S}_{△BCE}$，這樣便可求出$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$．

解答 解：如圖，延長CA到D，使CD=3CA，連接BD，延長CP交BD的中點E；

$\overrightarrow{CP}=\frac{λ}{4}（3\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，λ∈（0，1）；
∴$CP=\frac{λ}{4}CE$；
∴${S}_{1}=\frac{1}{3}•\frac{λ}{4}•{S}_{△CDE}$，${S}_{2}=\frac{λ}{4}{S}_{△BCE}$；
又S_△CDE=S_△BCE；
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{1}{3}$．
故選B．

點評 考查向量數(shù)乘的幾何意義及其運算，向量加法的平行四邊形法則，以及三角形的面積公式，相似三角形對應邊的比例關(guān)系．