Question

某商店經(jīng)營的消費品進(jìn)價每件14元，月銷售量Q（百件）與銷售價格P（元）的關(guān)系如圖，每月各種開支2000元，
（1）寫出月銷售量Q（百件）與銷售價格P（元）的函數(shù)關(guān)系．
（2）該店為了保證職工最低生活費開支3600元，問：商品價格應(yīng)控制在什么范圍？
（3）當(dāng)商品價格每件為多少元時，月利潤并扣除職工最低生活費的余額最大？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象為分段函的圖象，所以應(yīng)求14≤P≤20，與20＜x≤28兩部分的解析式，由圖象上的點分別代入Q=aP+b，求出即可；
（2）如果使該店剛好能夠維持職工生活，那么該店經(jīng)營的利潤只能保證企業(yè)的全體職工每個月最低的生活費的開支3600元以及每月所需的各種開支2000元，據(jù)此列出不等關(guān)系，從而確定商品的價格；
（3）設(shè)月利潤和除職工最低生活費的余額為L，列出L與售價P的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出L取最大值時，自變量P的值，從而確定商品的價格．

解答：解：（1）由題設(shè)知，當(dāng)14≤x≤20時，設(shè)Q=ax+b，
則

14a+b=22 20a+b=10

，∴

a=-2 b=50

∴Q=-2x+50，
同理得，當(dāng)20＜x≤28時，Q=-

3

2

x+40，…（4分）
所以Q=

-2P+50(14≤P≤20) - 3 2 P+40(20≤P≤26)

；
（2）由（1）得：
Q=

-2P+50(14≤P≤20) -1.5P+40(20＜P≤26)

，
當(dāng)14≤P≤20時，（P-14）（-2P+50）×100-3600-2000≥0，
即P²-39P+378≤0，解得18≤P≤21，故18≤P≤20；
當(dāng)20≤P≤26時，(P-14)(-

3

2

P+40)×100-3600-2000≥0，
即3P²-122P+1232≤0，解得

56

3

≤P≤22，故20≤P≤22．
所以18≤P≤22．
故商品價格應(yīng)控制在[18，22]范圍內(nèi)；
（3）設(shè)月利潤和除職工最低生活費的余額為L，則L=100（P-14）Q-2000．分兩種情況：
第一種：當(dāng)14≤P≤20時，即L=100（P-14）（-2P+50）-2000=-200P²+7800P-72000，則當(dāng)P=

-7800

2×(-200)

=19.5時，L有最大值，
此時L=

4×(-200)×(-7200)-7800×7800

4×(-200)

-3600=4050-3600=450；
第二種：當(dāng)20≤P≤28時，即100（P-14）（-1.5P+40）-2000=-150P²+6100P-58000，
則當(dāng)P=

-6100

2×(-150)

=

61

3

時，L有最大值，此時L=

4×(-150)×(-58000)-6100×6100

4×(-150)

-3600=4016

2

3

-3600=416

2

3

．
因為450＞416

2

3

，所以當(dāng)P=19.5元時，月利潤最大，為450元．

點評：本題是一道綜合題，難度較大．重點考查了一次函數(shù)圖象和實際應(yīng)用相結(jié)合的問題，能夠從圖象上準(zhǔn)確地獲取信息，本題中Q與P的關(guān)系是分段的，要注意對應(yīng)，這是做本題的關(guān)鍵．