Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱f（x）為“倍約束函數(shù)”．現(xiàn)給出下列函數(shù)：
①f（x）=2x；   
②f（x）=sinx+cosx；
③f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且對(duì)一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|；
④f(x)=

0當(dāng)x∈[-1，1] 時(shí) ln|x|當(dāng)x∈(-∞ -1)∪(1，+∞) 時(shí)

．
其中是“倍約束函數(shù)”的有（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

分析：本題考查閱讀題意的能力，根據(jù)“倍約束函數(shù)”，的定義進(jìn)行判定：對(duì)①f（x）=2x，易知存在K=2符合題意；②令x=0時(shí)即可得出結(jié)論對(duì)③通過(guò)取x₂=0，如此可得到正確結(jié)論．

解答：解：∵對(duì)任意x∈D，存在正數(shù)K，都有|f（x）|≤K|x|成立∴對(duì)任意x∈D，存在正數(shù)K，都有 K≥

|f(x)|

|x|

成立
∴對(duì)①f（x）=2x，易知存在K=2符合題意；
對(duì)于②，f（x）=sinx+cosx，由于x=0時(shí)，|f（x）|≤M|x|不成立，故錯(cuò)誤；
對(duì)于③，當(dāng)x=0，因|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到|f（x）|≤2|x|成立，這樣的M存在，故③正確；
④f(x)=

0當(dāng)x∈[-1，1] 時(shí) ln|x|當(dāng)x∈(-∞ -1)∪(1，+∞) 時(shí)

，當(dāng)e＞x＞1時(shí)，

lnx

x

是增函數(shù)，x≥e時(shí)是減函數(shù)，所以x=e時(shí)函數(shù)取得最大值，所以存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，所以f（x）為“倍約束函數(shù)，④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：題屬于開放式題，題型新穎，考查數(shù)學(xué)的閱讀理解能力．知識(shí)點(diǎn)方面主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，考生需要有較強(qiáng)的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，對(duì)選支逐個(gè)加以分析變形，利用函數(shù)、不等式的進(jìn)行檢驗(yàn)，方可得出正確結(jié)論．