Question

拋物線y²=4x的焦點弦被焦點分為長為m和n的兩部分，則m與n關(guān)系為

1. A.
   m+n=4
2. B.
   m•n=4
3. C.
   m+n=m•n
4. D.
   m+n=2m•n

Answer 1

C
分析：假設(shè)直線斜率存在，則可設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y可求得x₁+x₂，再根據(jù)拋物線的定義可求得m+n和mn，進而可求得 +==．再看當斜率不存在時，也符合．綜合可推斷 ，然后根據(jù)p=2，即可得出結(jié)論．
解答：拋物線y²=2Px①設(shè)AB：y=k（x-），直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y得
得k²x²-（k²p+2p）x+=0．
∴x₁+x₂=．
又由拋物線定義可得
m+n=x₁+x₂+p==，
m•n=（x₁+）（x₂+）=，
∴+==．
②若k不存在，則AB方程為x=-，顯然符合本題．
綜合①②有
∵p=2
∴，即m+n=m•n
故選C．
點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)及拋物線與直線的關(guān)系．當遇到拋物線焦點弦問題時，常根據(jù)焦點設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，把韋達定理和拋物線定義相結(jié)合解決問題．