Question

（1）已知數列{a_n}為等比數列，公比為q，S_n為前n項和，試推導公式S_n=；
（2）已知數列{a_n}的前n項和S_n．滿足：S_n=n²-n（n∈N^*），又數列{b_n}滿足：a_n+log₃n=log₃b_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于S_n=a₁+a₁q++…+ ①，故當q=1時，S_n=n a₁．當q≠1時，qS_n=a₁q++…+ ②，兩式相減求得S_n的解析式．
（2）根據 a_n 與 S_n 的關系求出 a_n，再由a_n+log₃n=log₃b_n，及對對數的運算性質求出b_n=n3^2（n-1）．用錯位相減法求出數列{b_n}的前n項和T_n ．
解答：（1）解：已知數列{a_n}為等比數列，公比為q，S_n為前n項和，故S_n=a₁+a₁q++…+ ①．
當q=1時，S_n=n a₁．
當q≠1時，qS_n=a₁q++…+ ②．
①-②可得 （1-q）S_n=a₁-=a₁（1-qⁿ），
∴S_n= （q≠1）．
綜上可得 ．
（2）解：S_n=n²-n（n∈N^*），
∴a₁=s₁=0，n≥2時，a_n=S_n-s_n-1=2（n-1）．
綜上可得 a_n=2（n-1）．
又數列{b_n}滿足：a_n+log₃n=log₃b_n，∴l(xiāng)og₃b_n -log₃n=a_n=2（n-1），
∴=3^2（n-1），b_n=n×3^2（n-1）．
故數列{b_n}的前n項和T_n =1×3+2×3²+3×3⁴+…+n3^2（n-1），
故9T_n =1×3²+2×3⁴+3×3⁶+…+（n-1）3^2（n-1）+n 3²ⁿ，
相減可得-8 T_n =1+3²+3⁴+…+3^2（n-1）-n 3²ⁿ=-n 3²ⁿ，
∴T_n =．
點評：本題主要考查對數的運算性質的應用，等比數列的通項公式，用錯位相減法進行數列求和，屬于中檔題．