已知兩向量a、b，求證：若|a＋b|＝|a－b|，則a的方向與b的方向垂直；反之也成立．

答案：
解析：

　　探究：要證明a的方向與b方向垂直，只需證明以a、b為鄰邊的平行四邊形為矩形，即證兩對角線長度相等即可．

　　證明：①若|a＋b|＝|a－b|，設＝a，＝b，以、為鄰邊作平行四邊形，則|a＋b|＝||，|a－b|＝||，又|a＋b|＝|a－b|，

　　∴||＝||，

　　即平行四邊形OACB的對角線相等，

　　∴平形四邊形OACB為矩形，

　　∴a與b的方向垂直．

　�、谌�a與b的方向垂直，如圖所示，設＝a，＝b，以、為鄰邊的平行四邊形為矩形．

　　∴||＝||，而＝a＋b，＝a－b，

　　∴|a＋b|＝|a－b|．

　　規(guī)律總結：此題的證明關鍵利用了兩個向量和與差的幾何意義，同時指出了平行四邊形兩對角線向量分別是鄰邊向量的和與差，本題求證的結論非常重要，應領會其實質(zhì)．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平面向量
a
=(cosωx+
3
sinωx，1)，
b
=(f(x)，cosωx)，其中ω＞0且
a
∥
b
，函數(shù)f（x）的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離為
3π
2
．
（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[π，
5π
2
]上的最大值及相應的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知兩向量
a
=(1+
3
，1-
3
)，
b
=(-1，-1)，求
a
與
b
所成角的大小，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)函數(shù)f（x）=Asin（?x+φ）（其中A＞0，|φ|＜
π
2
）的圖象如圖所示，把函數(shù)f（x）的圖象向右平移
π
4
個單位，再向下平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）若直線y=m與函數(shù)g（x）圖象在x∈[0，
π
2
]時有兩個公共點，其橫坐標分別為x1，x2，求g（x1+x2）的值；
（2）已知△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=3，g（C）=0．若向量
m
=(1，sinA)與
n
=(2，sinB)共線，求a、b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平面向量
a
=（
2
，
2
），
b
=（sin
π
4
x，cos
π
4
x），函數(shù)f（x）=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象上的所有的點向左平移1個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（x）+k在（-2，4）上有兩個零點，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知兩向量a=(2λ,-1),b=(-2,1),λ∈R,

       (1)若2a+b與a-2b平行,求λ的值；

       (2)若2a+b與a-2b垂直,求λ的值.

      

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