Question

5．過拋物線y²=x的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，且直線l的傾斜角$θ≥\frac{π}{4}$，點A在x軸的上方，則|FA|的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 通過拋物線方程可知焦點F（$\frac{1}{4}$，0），一方面通過點A在x軸上方可知|FA|cosθ=x_A-$\frac{1}{4}$，一方面利用拋物線定義可知|FA|=x_A+$\frac{1}{4}$，聯(lián)立消去x_A可知|FA|=$\frac{\frac{1}{2}}{1-cosθ}$，利用θ∈[$\frac{π}{4}$，π）計算即得結(jié)論．

解答 解：∵拋物線方程為y²=x，
∴其焦點F（$\frac{1}{4}$，0），
∵點A在x軸上方，
∴|FA|cosθ=x_A-$\frac{1}{4}$，
由拋物線定義可知：|FA|=x_A+$\frac{1}{4}$，
∴|FA|=$\frac{\frac{1}{2}}{1-cosθ}$，
∵θ∈[$\frac{π}{4}$，π），
∴cosθ∈（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴|FA|=$\frac{\frac{1}{2}}{1-cosθ}$∈（$\frac{1}{4}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
故答案為：（$\frac{1}{4}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．