Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，又知BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求C₁到平面A₁AB的距離；
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證AC₁⊥平面A₁BC，需要從平面A₁BC中找出兩條相交線與AC₁垂直，由圖形知，可證BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁．由線面垂直的定理即可得．
（Ⅱ）求C₁到平面A₁AB的距離，本小題擬采用向量法求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面A₁AB的法向量，以及，求在平面法向量上的投影即可得到點(diǎn)到面的距離．
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C的余弦值，本小題擬采用向量法求解，根據(jù)（2）求出兩平面的法向量，直接求兩向量夾角的余弦值的絕對值即可．
解答：解：
（Ⅰ）證明：因為A₁在底面ABC上的射影為AC的中點(diǎn)D
所以平面A₁ACC₁⊥平面ABC
∵BC⊥AC且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC
∴BC⊥平面A₁ACC₁∴BC⊥AC₁
∵AC₁⊥BA₁且BC₁∩BA₁=B
∴AC₁⊥平面A₁BC
（Ⅱ）如圖所示，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系
∵AC₁⊥平面A₁BC∴AC₁⊥A₁C
∴四邊形A₁ACC₁是菱形∵D是AC的中點(diǎn)
∴∠A₁AD=60°∴A（2，0，0）A₁（1，0，）
B（0，2，0）C₁（-1，0，）
∴=（1，0，）=（-2，2，0）
設(shè)平面A₁AB的法向量=（x，y，z），則，令z=1，
∴=（，，1）
∵=（2，0，0）∴
∴C₁到平面A₁AB的距離為
（Ⅲ）平面A₁AB的法向量=（，，1），平面A₁BC的法向量=（-3，0，）
∴，
設(shè)二面角A-A₁B-C的平面角為θ，θ為銳角，
∴
即二面角A-A₁B-C的余弦值為
點(diǎn)評：本題考查線面垂直的證明，點(diǎn)到面距離的求法，二面角的求法，由解題過程可以看出，用向量法求點(diǎn)到面的距離，求二面角是一個很實用的方法，解題中要善于運(yùn)用，在求解此類題時，求面的法向量是一個重點(diǎn)，要學(xué)會怎么賦值．