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已知函數(shù),且f(1)=log162,f(-2)=1.
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)若數(shù)列xn的項(xiàng)滿足xn=[1-f(1)]•[1-f(2)]•…•[1-f(n)],試求x1,x2,x3,x4;
(3)猜想數(shù)列xn的通項(xiàng),并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【答案】分析:(1)由已知中函數(shù),且f(1)=log162,f(-2)=1.我們可以構(gòu)造關(guān)于a,b的方程,解方程求出a,b的值,即得到函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)根據(jù)xn=[1-f(1)]•[1-f(2)]•…•[1-f(n)],我們分別令n=1,2,3,4,即可法求出x1,x2,x3,x4;
(3)根據(jù)(2)中數(shù)列的前4項(xiàng),分析他們之間呈現(xiàn)的規(guī)律,歸納推理后,即可得到數(shù)列xn的通項(xiàng)公式,然后利用數(shù)學(xué)歸納法,即可證明結(jié)論.
解答:解:(1)∵,且f(1)=log162,f(-2)=1.
=log162==1
解得:
∴函數(shù)
(2)由(1)中
∴xn=[1-f(1)]•[1-f(2)]•…•[1-f(n)],
當(dāng)n=1時(shí),
當(dāng)n=2時(shí),
當(dāng)n=3時(shí),,
當(dāng)n=4時(shí),
(3)由(2)中結(jié)論我們易得:
當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論顯然成立
設(shè)n=k時(shí),結(jié)論成立,即
則當(dāng)n=k+1時(shí),==
即n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.

點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求出及數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì),其步驟為:設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題,若1)(奠基) P(n)在n=1時(shí)成立;2)(歸納) 在P(k)(k為任意自然數(shù))成立的假設(shè)下可以推出P(k+1)成立,則P(n)對(duì)一切自然數(shù)n都成立.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知函數(shù),且f(1)=2,
(1)求a、b的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(3)判斷f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性并加以證明.

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已知函數(shù),且f(1)=2,
(1)求a、b的值;
(2)判斷f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性并加以證明.

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已知函數(shù),且f(1)=1,f(-2)=4.
(1)求a、b的值;
(2)已知定點(diǎn)A(1,0),設(shè)點(diǎn)P(x,y)是函數(shù)y=f(x)(x<-1)圖象上的任意一點(diǎn),求|AP|的最小值,并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)x∈[1,2]時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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已知函數(shù),且f(1)=3
(I)求a的值;
(II)判斷函數(shù)的奇偶性;
(III)判斷函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)還是減函數(shù)?并證明.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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