Question

定義在R⁺上的函數(shù)f（x）滿足：
（1）存在a＞1，使f（a）≠0；
（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，有f（x^b）=bf（x）．若方程f（mx）•f（mx²）=4f²（a）的所有解大于1，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：令t=x^b，則b=log_xt，可得log_xt=

f(t)

f(x)

，進(jìn)而根據(jù)方程f（mx）•f（mx²）=4f²（a）的所有解大于1，我們可以得到2log_a²x+3log_am•log_ax+log_a²m-4=0的所有解大于1，令u=log_ax，則u²x+3log_am•u+log_a²m-4=0的所有解大于0，結(jié)合韋達(dá)定理，可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于m的不等式組，解不等式組，即可得到答案．

解答：解：令t=x^b，則b=log_xt，
則f（t）=log_xt•f（x）
即log_xt=

f(t)

f(x)

若f（mx）•f（mx²）=4f²（a）的所有解大于1，
則

f(mx)

f(a)

•

f(mx 2)

f(a)

-4=0的所有解大于1，
即log_a（mx）•log_a（mx²）-4=0的所有解大于1，
即2log_a²x+3log_am•log_ax+log_a²m-4=0的所有解大于1，
令u=log_ax，由a＞1，
則u²x+3log_am•u+log_a²m-4=0的所有解大于0
由韋達(dá)定理可得

log am＜0 log   2 a m-4＞0

解得：0＜m≤

1

a   2

故m的取值范圍為（0，

1

a   2

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)與議程的綜合應(yīng)用，抽象函數(shù)的應(yīng)用，其中根據(jù)已知條件，得到log_xt=

f(t)

f(x)

，從而將抽象問(wèn)題具體化，是解答本題的關(guān)鍵．