Question

在銳角△ABC 中，角 A，B，C 所對邊分別為 a，b，c，且 bsinAcosB=（2c-b）sinBcosA．
（I）求角A；
（II）已知向量=（sinB，cosB），=（cos2C，sin2C），求|+|的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）在銳角△ABC 中，由 bsinAcosB=（2c-b）sinBcosA利用正弦定理可得 sinBsin（A+B）=2sinCsinBcosA，解得cosA=，從而求得A的值．
（Ⅱ）由題意可得 +=（sinB+cos2C，cosB+sin2C），=（sinB+sin2C）²+（cosB+cos2C）²=2+2sin（+C）．由 ＜C＜，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得 2+2sin（+C）的范圍，從而求得|+|的取值范圍．
解答：解：（I）在銳角△ABC 中，由 bsinAcosB=（2c-b）sinBcosA利用正弦定理可得
sinBsinAcosB=2sinCsinBcosA-sinBsinBcosA，
故有sinBsin（A+B）=2sinCsinBcosA，解得cosA=，∴A=．
（Ⅱ）由題意可得 +=（sinB+cos2C，cosB+sin2C），=（sinB+sin2C）²+（cosB+cos2C）²=2+2sin（B+2C）=2+2sin（+C）．
由于 ＜C＜，∴＜+C＜，
∴-＜sin（ +C）＜，∴1＜2+2sin（+C）＜3，
故|+|的取值范圍為（1，）．
點評：本題主要考查正弦定理、三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，求向量的模的方法，屬于中檔題．