Question

已知函數(shù)f(x)=

3

cos2x-sin2x的圖象為C，則如下結(jié)論中正確的序號(hào)是

①②

．
①圖象C關(guān)于直線x=

11

12

π對(duì)稱； 
②圖象C關(guān)于點(diǎn)(

2π

3

，0)對(duì)稱； 
③函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

5π

12

]上是增函數(shù)；
④將y=2sin2x的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位長度可以得到圖象C．

Answer 1

分析：f（x）解析式提取2變形后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，利用余弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性，以及平移規(guī)律即可做出判斷．

解答：解：f（x）=2（

3

2

cos2x-

1

2

sin2x）=2cos（2x+

π

6

），
令2x+

π

6

=kπ，k∈Z，得到x=

kπ

2

-

π

12

，k∈Z，
當(dāng)k=2時(shí)，x=

11π

12

，
則函數(shù)圖象C關(guān)于直線x=

11π

12

對(duì)稱，選項(xiàng)①正確；
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，得到x=

kπ

2

+

π

6

，
當(dāng)k=1時(shí)，x=

2π

3

，
則函數(shù)圖象C關(guān)于（

2π

3

，0）對(duì)稱，選項(xiàng)②正確；
令-π+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ，k∈Z，得到-

7π

12

+kπ≤x≤-

π

12

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

7π

12

+kπ，-

π

12

+kπ]，k∈Z，
令2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+π，k∈Z，得到-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]，k∈Z，
∴f（x）在[-

π

12

，

5π

12

]上單調(diào)遞減，選項(xiàng)③錯(cuò)誤；
將y=2sin2x的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位長度得到y(tǒng)=2sin2（x-

π

6

）=2sin（2x-

π

3

）=2sin[（2x+

π

6

）-

π

2

]=-2cos（2x+

π

6

），選項(xiàng)④錯(cuò)誤，
則結(jié)論正確的選項(xiàng)有：①②．
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的對(duì)稱性，余弦函數(shù)的單調(diào)性，以及平移規(guī)律，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．