Question

【題目】已知（），定義.

（1）求函數(shù)的極值

（2）若，且存在使，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，試討論函數(shù)（）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1) 的極大值為，極小值為；(2) ；(3)當(dāng)時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 有無(wú)零點(diǎn).

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合函數(shù)的解析式求導(dǎo)有，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值可得的極大值為，極小值為；

(2)原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式在上有解，構(gòu)造新函數(shù)（），據(jù)此討論可得.

(3)結(jié)合（1）的結(jié)論有在上的最小值為，分類(lèi)討論：

①當(dāng)時(shí)， 在上無(wú)零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)， 在上有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)時(shí)， 在上有兩個(gè)零點(diǎn).

試題解析：

（1）∵函數(shù)，

∴

令，得或，∵，∴，列表如下：

		極大值		極小值

∴的極大值為，極小值為.

（2），∵存在使，

∴在上有解，即在上有解，即不等式在上有解，

設(shè)（），∵對(duì)恒成立，

∴在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)， 的最大值為.

∴，即.

（3）由（1）知， 在上的最小值為，

①當(dāng)，即時(shí)， 在上恒成立，

∴在上無(wú)零點(diǎn).

②當(dāng)，即時(shí)， ，又，

∴在上有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)，即時(shí)，設(shè)（），

∵，∴在上單調(diào)遞減，

又， ，∴存在唯一的，使得.

Ⅰ.當(dāng)時(shí)，

∵，∴且為減函數(shù)，

又， ，

∴在上有一個(gè)零點(diǎn)；

Ⅱ.當(dāng)時(shí)

∵，∴且為增函數(shù).

∵，∴在上有一個(gè)零點(diǎn)；

從而在上有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 有無(wú)零點(diǎn).