【題目】已知(),定義.
(1)求函數(shù)的極值
(2)若,且存在使,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,試討論函數(shù)()的零點個數(shù).
【答案】(1) 的極大值為,極小值為;(2) ;(3)當時, 有兩個零點;當時, 有一個零點;當時, 有無零點.
【解析】試題分析:
(1)結(jié)合函數(shù)的解析式求導有,利用導函數(shù)研究函數(shù)的極值可得的極大值為,極小值為;
(2)原問題轉(zhuǎn)化為不等式在上有解,構(gòu)造新函數(shù)(),據(jù)此討論可得.
(3)結(jié)合(1)的結(jié)論有在上的最小值為,分類討論:
①當時, 在上無零點.
②當時, 在上有一個零點.
③當時, 在上有兩個零點.
試題解析:
(1)∵函數(shù),
∴
令,得或,∵,∴,列表如下:
極大值 | 極小值 |
∴的極大值為,極小值為.
(2),∵存在使,
∴在上有解,即在上有解,即不等式在上有解,
設(),∵對恒成立,
∴在上單調(diào)遞減,∴當時, 的最大值為.
∴,即.
(3)由(1)知, 在上的最小值為,
①當,即時, 在上恒成立,
∴在上無零點.
②當,即時, ,又,
∴在上有一個零點.
③當,即時,設(),
∵,∴在上單調(diào)遞減,
又, ,∴存在唯一的,使得.
Ⅰ.當時,
∵,∴且為減函數(shù),
又, ,
∴在上有一個零點;
Ⅱ.當時
∵,∴且為增函數(shù).
∵,∴在上有一個零點;
從而在上有兩個零點.
綜上所述,當時, 有兩個零點;當時, 有一個零點;
當時, 有無零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了展示中華漢字的無窮魅力,傳遞傳統(tǒng)文化,提高學習熱情,某校開展《中國漢字聽寫大會》的活動.為響應學校號召,2(9)班組建了興趣班,根據(jù)甲、乙兩人近期8次成績畫出莖葉圖,如圖所示(把頻率當作概率).
(1)求甲、乙兩人成績的平均數(shù)和中位數(shù);
(2)現(xiàn)要從甲、乙兩人中選派一人參加比賽,從統(tǒng)計學的角度,你認為派哪位學生參加比較合適?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,x∈R,a∈R.
(1)a=1時,求證:f(x)在區(qū)間(﹣∞,0)上為單調(diào)增函數(shù);
(2)當方程f(x)=3有解時,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校高三共有800名學生,為了解學生3月月考生物測試情況,根據(jù)男女學生人數(shù)差異較大,從中隨機抽取了200名學生,記錄他們的分數(shù),并整理得如圖頻率分布直方圖.
(1)若成績不低于60分的為及格,成績不低于80分的為優(yōu)秀,試估計總體中合格的有多少人?優(yōu)秀的有多少人?
(2)已知樣本中有一半的女生分數(shù)不小于80,且樣本中不低于80分的男女生人數(shù)之比2:3,試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x﹣ (x∈R).
(1)討論f(x)的奇偶性;
(2)若2xf(2x)+mf(x)≥0對任意的x∈[0,+∞)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,江的兩岸可近似地看出兩條平行的直線,江岸的一側(cè)有, 兩個蔬菜基地,江岸的另一側(cè)點處有一個超市.已知、、中任意兩點間的距離為千米,超市欲在之間建一個運輸中轉(zhuǎn)站, , 兩處的蔬菜運抵處后,再統(tǒng)一經(jīng)過貨輪運抵處,由于, 兩處蔬菜的差異,這兩處的運輸費用也不同.如果從處出發(fā)的運輸費為每千米元.從處出發(fā)的運輸費為每千米元,貨輪的運輸費為每千米元.
(1)設,試將運輸總費用(單位:元)表示為的函數(shù),并寫出自變量的取值范圍;
(2)問中轉(zhuǎn)站建在何處時,運輸總費用最。坎⑶蟪鲎钚≈.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間[1,+∞)上的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論.
(2)求該函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值與最小值.
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【題目】隨機抽取了40輛汽車在經(jīng)過路段上某點時的車速(km/h),現(xiàn)將其分成六段: , , , , , ,后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)現(xiàn)有某汽車途經(jīng)該點,則其速度低于80km/h的概率約是多少?
(Ⅱ)根據(jù)直方圖可知,抽取的40輛汽車經(jīng)過該點的平均速度約是多少?
(Ⅲ)在抽取的40輛且速度在(km/h)內(nèi)的汽車中任取2輛,求這2輛車車速都在(km/h)內(nèi)的概率.
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