Question

兩城市A和B相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在兩城市外以AB為直徑的半圓弧

AB

上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān)，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y，統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，當(dāng)垃圾處理廠建在

AB

的中點(diǎn)時，對城A和城B的總影響度為0.065．
（1）將y表示成x的函數(shù)；
（2）判斷弧

AB

上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最�。咳舸嬖�，求出該點(diǎn)到城A的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，”建立函數(shù)模型：y=

4

x2

+

k

400-x2

，再根據(jù)當(dāng)x=10

2

時，y=0.065，求得參數(shù)k．
（2）總影響度最小，即為：求y=

4

x2

+

9

400-x2

=

5(x2+320)

-x4+400x2

的最小值時的狀態(tài)．令t=x²+320，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為：y=

5

-(t+ 230400 t )+1040

，再用基本不等式求解．

解答：解：（1）由題意得y=

4

x2

+

k

400-x2

，
又∵當(dāng)x=10

2

時，y=0.065，
∴k=9
∴y=

4

x2

+

9

400-x2

(x∈(0，20))（7分）
（2）y=

4

x2

+

9

400-x2

=

5(x2+320)

-x4+400x2

，
令t=x²+320∈（320，720），
則y=

5

-(t+ 230400 t )+1040

≥

1

16

，當(dāng)且僅當(dāng)t=480即x=4

10

時，等號成立．（14分）
∴弧

AB

上存在一點(diǎn)，該點(diǎn)到城A的距離為4

10

時，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小為0.0625．（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)模型的建立和應(yīng)用，主要涉及了換元法，基本不等式法和轉(zhuǎn)化思想的考查．