(本小題12分)若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

(1) 判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明你的結(jié)論；

(2) 函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（12分）(1) 函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)。

證明， ． 

當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；

 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；∴當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為．

所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)。

(2)解法一：由（1）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，

因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個(gè)公共點(diǎn)．

設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．

由，可得當(dāng)時(shí)恒成立

， 由，得．

下面證明當(dāng)時(shí)恒成立．令，

則， 當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；∴當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為．

從而，即恒成立．

 ∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．

解法二： 由(1)可知當(dāng)時(shí)， (當(dāng)且當(dāng)時(shí)取等號(hào)) ．

若存在和的隔離直線，則存在實(shí)常數(shù)和，

使得和恒成立，

令，則且

，即．后面解題步驟同解法一．

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(本小題滿分12分）

已知直線l1:4x:-3y+6=0和直線l2x=-p/2:.若拋物線C:y2=2px上的點(diǎn)到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.

(I )求拋物線C的方程；

(II)若以拋物線上任意一點(diǎn)M為切點(diǎn)的直線l與直線l2交于點(diǎn)N，試問在x軸上是否存 在定點(diǎn)Q，使Q點(diǎn)在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

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（本小題滿分12分）

已知方向向量為v=(1,)的直線l過點(diǎn)（0，－2）和橢圓C：

 

的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)E（－2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足cot∠MON ≠0（O為原點(diǎn)）.若存在，求直線m的方程；若不存

 

在，請(qǐng)說明理由.

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年黑龍江省高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)文卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)P（2，1）的直線與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B.

    （Ⅰ）求橢圓C的方程；

    （Ⅱ）是否存直線，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年遼寧省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題

(本小題滿分12分)

已知函數(shù)，為實(shí)數(shù)）有極值，且在處的切線與直線平行.

（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（II）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)的極小值為1，若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存

在，請(qǐng)說明理由；

（Ⅲ）設(shè)

求證：.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

 (本小題滿分12分)  如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且滿足的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線交曲線于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)G，滿足使四邊

形為矩形？若存在，求出G的坐標(biāo)和四邊形面積的最大值；若不存

在，說明理由。

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