Question

已知f（x）是R上的偶函數(shù)，f（2）=-1，若f（x）的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意f（x）是R上的偶函數(shù)，f（x-1）是R上的奇函數(shù)，由此可以得出函數(shù)的周期為4，再由f（2）=-1求出f（-2）=-1，由奇函數(shù)的性質(zhì)得出f（-1）=0，從而可得f（1）=0，求出一個(gè)周期上的四個(gè)函數(shù)的和，即可求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值．
解答：解：由題意f（x）是R上的偶函數(shù)，f（x-1）是R上的奇函數(shù)，
f（-x）=f（x），f（-x-1）=-f（x-1），①
∴f（-x-1）=f（x+1），②
由①②得f（x+1）=-f（x-1）③恒成立，
∴f（x-1）=-f（x-3）④
由③④得f（x+1）=f（x-3）恒成立，
∴函數(shù)的周期是4，下研究函數(shù)一個(gè)周期上的函數(shù)的值
由于f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位后，則得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象即f（0-1）=0，即f（-1）=0，
由偶函數(shù)知f（1）=0，由周期性知f（3）=0
由f（2）=-1得f（-2）=-1，由f（x+1）=-f（x-1），知f（0）=1，故f（4）=1
故有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=f（2009）+f（2010）=f（1）+f（2）=0+（-1）=-1
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的運(yùn)用，求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的周期以及一個(gè)周期中函數(shù)值的和，然后根據(jù)周期性求出函數(shù)值的和．