Question

設(shè)P是邊長為2

3

的正△ABC內(nèi)的一點，x，y，z是P到三角形三邊的距離，則

x

+

y

+

z

的最大值為

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)正三角形的性質(zhì)，可得點P到三角形三邊的距離之和等于它的高，可得x+y+z=3，由此結(jié)合柯西不等式加以計算，即可得到

x

+

y

+

z

的最大值．

解答：解：正三角形的邊長為a=2

3

，可得它的高等于

3

2

a=3
∵P是正三角形內(nèi)部一點
∴點P到三角形三邊的距離之和等于正三角形的高，即x+y+z=3
∵（

x

+

y

+

z

）²=（1×

x

+1×

y

+1×

z

）²≤（1+1+1）（x+y+z）=9
∴

x

+

y

+

z

≤3，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時，

x

+

y

+

z

的最大值為3
故答案為：3

點評：本題給出邊長為2

3

的正三角形內(nèi)一點P，求P到三邊的距離的算術(shù)平方根之和的最大值，著重考查了正三角形的性質(zhì)和柯西不等式等知識，屬于中檔題．