Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，離心率，且其中一個焦點與拋物線的焦點重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點S（，0）的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動，以AB為直徑的圓恒過點T，若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)處橢圓的標準方程，根據(jù)離心率求的a和c的關(guān)系，進而根據(jù)拋物線的焦點求得c，進而求得a，則b可得，進而求的橢圓的標準方程．
（2）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是（x+）²+y²=．聯(lián)立兩個圓的方程求得其交點的坐標，推斷兩圓相切，進而可判斷因此所求的點T如果存在，只能是這個切點．證明時先看直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（1，0）．再看直線l不垂直于x軸，可設(shè)出直線方程，與圓方程聯(lián)立消去y，記點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)偉大定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，代入•的表達式中，求得•=0，進而推斷TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（1，0）．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，離心率，，拋物線的焦點為（0，1），所以，橢圓C的方程是x²+=1
（Ⅱ）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是（x+）²+y²=．
由解得即兩圓相切于點（1，0）．
因此所求的點T如果存在，只能是（1，0）．
事實上，點T（1，0）就是所求的點．證明如下：
當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（1，0）．
若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l：y=k（x+）．
由即（k²+2）x²+k²x+k²-2=0．
記點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
又因為=（x₁-1，y₁），=（x₂-1，y₂），•=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）+k²（x₁+）（x₂+）
=（k²+1）x₁x₂+（k²-1）（x₁+x₂）+k²+1
=（k²+1）+（k²-1）++1=0，
所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（1，0）．
所以在坐標平面上存在一個定點T（1，0）滿足條件
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和直線與橢圓的綜合問題．考查了學生分析問題和解決問題的能力．