Question

已知函數(shù)（a為常數(shù)）
（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，若不存在，說明理由，若存在，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并利用定義加以證明．

Answer 1

解：（1）若f（x）是R上的奇函數(shù)，
則，
而當(dāng)a=1時(shí)，的定義域?yàn)镽，
且對(duì)x∈R，有，
因此，存在a=1，使函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)．
由，
得．
∵2^x＞0，
∴
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5944.png' />．
（2）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則
=．
∵y=2^x是R上的增函數(shù)，∴，
又，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0?f（x₁）＞f（x₂），
因此f（x）是R上的減函數(shù)．
分析：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)有 f（0）=0，代入可求a，再利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則，根據(jù)已知只要判斷出函數(shù)值差的符號(hào)即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義在證明（判斷）函數(shù)單調(diào)性中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0（0在定義域內(nèi)），屬于基礎(chǔ)試題