Question

下列命題中所有正確的是：

（1）（2）

（1）每個定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)都可以分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和．
（2）若f（x）可分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和，則這種分解方法只有一種．
（3）非零奇函數(shù)與非零偶函數(shù)的和必為非奇非偶函數(shù)．
（4）f（x）=

9-x2

|x+5|+|3-x|

為非奇非偶函數(shù)．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和圖象的性質(zhì)分別判斷即可．

解答：解：（1）因為f（x）=

f(x)+f(-x)

2

+

f(x)-f(-x)

2

，設(shè)g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

，則g（x）為偶函數(shù)，h（x）為奇函數(shù)，所以（1）正確．
（2）若f（x）可分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和，不妨設(shè)f（x）=g（x）+h（x），其中g(shù)（x）為偶函數(shù)，h（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x），
則聯(lián)立兩式得，g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

，此種分解方法只有一種，所以（2）正確．
（3）由（1）（2）的證明過程知，非零奇函數(shù)與非零偶函數(shù)的和不一定是非奇非偶函數(shù)．所以錯誤．
（4）因為函數(shù)的定義域為[-3，3]，所以此時f(x)=

9-x2

x+5+3-x

=

9-x2

8

為偶函數(shù)，所以（4）錯誤．
故答案為：（1），（2）．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的分析能力．