Question

已知函數(shù)f（x）=x﹣ln（1+x），數(shù)列{a_n}滿足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n）；數(shù)列{b_n}滿足b₁=，b _n+1≥（n+1）b_n，n∈N*．求證：
（Ⅰ）0＜a _n+1＜a_n＜1；
（Ⅱ）a _n+1＜
（Ⅲ）若a₁=，則當(dāng)n≥2時(shí)，b_n＞a_nn!．

Answer 1

解：（Ⅰ）先用數(shù)學(xué)歸納法證明0＜a_n＜1，n∈N*．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，由已知得結(jié)論成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即0＜a_k＜1．則
當(dāng)n=k+1時(shí)，
∵0＜x＜1時(shí)，f'（x）=1﹣=＞0，
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．
又∵f（x）在[0，1]上連續(xù)，
∴f（0）＜f（a_k）＜f（1），即0＜a _k+1＜1＜1﹣ln2＜1．
故當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
即0＜a_n＜1對(duì)于一切正整數(shù)都成立．
又由0＜a_n＜1，得a _n+1﹣a_n=a_n﹣ln（1+a_n）﹣a_n=﹣ln（1+a_n）＜0，
從而a _n+1＜a_n．
綜上可知0＜a _n+1＜a_n＜1。
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=﹣f（x）=，0＜x＜1，
由g’（x）=＞0，知g（x）在（0，1）上增函數(shù)．
又g（x）在[0，1]上連續(xù)，
∴g（x）＞g（0）=0．
∵0＜a_n＜1，
∴g（a_n）＞0，即﹣f（a_n）＞0，從而a _n+1＜
（Ⅲ）∵b₁=，b _n+1≥（n+1）b_n，
∴b_n＞0，，
∴b_n=，①
由（Ⅱ）a _n+1＜ 知：，
∴=，
∵a₁=，n≥2，0＜a _n+1＜a_n＜1
∴a_n＜＜＜= ．②
由①②兩式可知：b_n＞a_nn!．