Question

已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2

3

sin²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿(mǎn)足2acosC+c=2b，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,兩角和與差的正切函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1+

3

，由此求得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）在△ABC中，由條件利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值，可得B的范圍，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（B）的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2

3

sin²x=1+sin2x+2

3

×

1-cos2x

2

=sin2x-

3

cos2x+1+

3

=2sin（2x-

π

3

）+1+

3

，
故函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

2

=π．
（Ⅱ）在△ABC中，∵2acosC+c=2b，∴2a•

a2+b2-c2

2ab

+c=2b，
∴b²+c²-a²=bc，∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，∴A=

π

3

．
∴0＜B＜

2π

3

，-

π

3

＜2B-

π

3

＜π，∴sin（2B-

π

3

）∈（-

3

2

，1]，
可得f（B）∈(1，3+

3

]，
即f （x）的值域?yàn)?span id="eqi2ms4" class="MathJye">(1，3+

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，余弦定理、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．