Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A、ω是常數(shù)，A＞0，ω＞0，φ是銳角）的部分圖象如圖所示，其中．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象先向右平移個(gè)單位，再將圖象上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的ω倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，試寫出函數(shù)g（x）的解析式；
（3）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由圖可知，A=，=-=，
∴T=π，故ω=2；
又f（）=0，由圖可知，2×+φ=π，
∴φ=，
∴f（x）=sin（2x+）；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象先向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin[2（x+-）]=sin2x；
再將圖象上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)g（x）=sinx；
（3）若存在x₀∈（0，），使得sinx₀+acosx₀=2成立．
a==h（x₀），x₀∈（0，），
可以求導(dǎo)h′（x₀）=，得：
h（x₀）在（0，）遞減，[，）遞增；
h（）=，h（0）=2，h（）=4-．
所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[6，2]．
分析：（1）依題意可求得A，ω，φ；
（2）由（1）得=，利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可求得g（x）的解析式；
（3）若存在x₀∈（0，），使得sinx₀+acosx₀=2成立，可求得a==h（x₀），可以求導(dǎo)h′（x₀）求得a的最大值與最小值，從而得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于難題．