Question

等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=7，a₂為整數，當且僅當n=4時S_n取得最大值．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=（9-a_n）•2ⁿ⁺¹，求數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由當且僅當n=4時S_n取得最大值，可得a₄＞0，a₅＜0．再利用等差數列的通項公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵當且僅當n=4時S_n取得最大值，
∴a₄＞0，a₅＜0．
∴

7+3d＞0 7+4d＜0

，解得-

7

3

＜d＜-

7

4

．
又a₂為整數，∴7+d為整數，
∴d為整數，∴d=-2．
故a_n=7-2（n-1）=9-2n．
（2）b_n=（9-a_n）•2ⁿ⁺¹=n•2ⁿ．
∴數列{b_n}的前n項和為T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2×(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn=(n-1)×2n+1+2．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．