Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin2ωx+6cos²ωx-3（ω＞0）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，其中A為圖象的最高點，B、C為圖象與軸的交點，且△ABC為正三角形．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若f（x₀）=

6 3

5

，且x₀∈（

2

3

，

8

3

），求f（x₀+1）的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由條件求得f（x）=2

3

sin（2ωx+

π

3

）可得正三角形的高線的長為2

3

，邊長為BC=4，可得周期為8，即

2π

2ω

=8，由此求得ω的值．
（Ⅱ）由f（x₀）=2

3

sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

6 3

5

，可得sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

3

5

；結(jié)合x₀∈（

2

3

，

8

3

），可得cos（

π

4

x₀+

π

3

）=-

4

5

．再根據(jù)f（x₀+1）=2

3

sin[

π

4

（x₀+1）+

π

3

]，利用兩角和的正弦公式計算求得結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

3

sin2ωx+6cos²ωx-3=

3

sin2ωx+3cos2ωx=2

3

sin（2ωx+

π

3

）．
由于△ABC為正三角形，故高線的長為2

3

，故邊長為BC=4，故周期為8，即

2π

2ω

=8，求得ω=

π

8

．
（Ⅱ）由以上可得，f（x）=2

3

sin（

π

4

x+

π

3

），由f（x₀）=2

3

sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

6 3

5

，可得sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

3

5

．
結(jié)合x₀∈（

2

3

，

8

3

），可得

π

4

x₀+

π

3

∈（

π

2

，π），
∴cos（

π

4

x₀+

π

3

）=-

4

5

．
求f（x₀+1）=2

3

sin[

π

4

（x₀+1）+

π

3

]=2

3

sin[（

π

4

x₀+

π

3

）+

π

4

]=2

3

[sin（

π

4

x₀+

π

3

）cos

π

4

+cos（

π

4

x₀+

π

3

）sin

π

4

]
=2

3

（

3

5

×

2

2

-

4

5

×

2

2

]=-

6

5

．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題．