Question

（本題滿分14分）已知函數(shù) 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142323845593.gif" style="vertical-align:middle;" />．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）探究是否是上的單調(diào)函數(shù)？若是，請證明；若不是，請說明理由； （Ⅲ）求證：，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析

（Ⅰ）由題意得關(guān)于的不等式的解集是區(qū)間，
則是方程的根，因此。
經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，函數(shù) 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142324157572.gif" style="vertical-align:middle;" />．
即符合題意．…………3分
（Ⅱ） ，設(shè)，
則， ……5分
令，則
即是上的減函數(shù)……7分所以當(dāng)時(shí)，=0，則<0．
因此是（0,上的減函數(shù)，而是（0,上的減函數(shù)，則是上的單調(diào)增函數(shù)……9分
（Ⅲ）先證不等式 （成立．
設(shè) （，則，
即是（0，上的減函數(shù)，所以，因此……11分
取得不等式，
即，則……13分
所以…………14分