若存在過點(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+
15
4
x-9都相切,則a等于( 。
A、-1或-
25
64
B、-1或
21
4
C、-
7
4
或-
25
64
D、-
7
4
或7
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:先求出過點(1,0)和y=x3相切的切線方程,即可得到結(jié)論.
解答: 解:設(shè)直線與曲線y=x3的切點坐標為(x0,y0),
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x0)=3x02,
則切線斜率k=3x02,
則切線方程為y-x03=3x02(x-x0),
∵切線過點(1,0),
∴-x03=3x02(1-x0)=3x02-3x03,
即2x03=3x02
解得x0=0或x0=
3
2
,
①若x0=0,此時切線的方程為y=0,
此時直線與y=ax2+
15
4
x-9相切,
即ax2+
15
4
x-9=0,
則△=(
15
4
2+36a=0,
解得a=-
25
64

②若x0=
3
2
,其切線方程為y=
27
4
x-
27
4
,
代入y=ax2+
15
4
x-9得y=ax2+
15
4
x-9=
27
4
x-
27
4

消去y可得ax2-3x-
9
4
=0,
又由△=0,即9+4×
9
4
×a=0,
解可得a=-1.
故a=-1或a=-
25
64

故選:A.
點評:本題主要考查函數(shù)切線方程的求解,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知sin(
π
2
+θ)=
3
5
,θ∈(
2
,2π),則sin2θ
 

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如圖,在△ABC中,三內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a2=b2+c2+bc,a=
3
,S為△ABC的面積,圓O是△ABC的外接圓,P是圓 O上一動點,當(dāng)S+
3
cosBcosC取得最大值時,
PA
PB
的最大值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知常數(shù)α>0,β>0,函數(shù)f(x)=
α+βln(1+x)
x
,且函數(shù)f(x)在區(qū)間[e-1,e2-1]上滿足
3
e+1
≤(e-1)f(x)≤2.
(1)求常數(shù)α,β 值;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=
k
1+x
,求最大的正整數(shù)k,使得對任意的正數(shù)c,存在實數(shù)a,b滿足-1<a<b<c,且f(c)=f(a)=g(b).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓臺的上下底面半徑分別是2、4,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和,求該圓臺的母線長.(參考公式:S圓臺側(cè)面積=π(r+R)l)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標系xOy中,記曲線y=2x-
m
x
.(m∈R,m≠-2)在x=1處的切線為直線l,若直線l在兩坐標軸上的截距之和為12,則m的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

空間直角坐標系中已知點P(0,0,
3
)和點C(-1,2,0),則在y上到P,C的距離相等的點M的坐標是( 。
A、(0,1,0)
B、(0,
1
2
,0)
C、(0,-
1
2
,0)
D、(0,2,0)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若雙曲線
x2
4
-
y2
5
=1左支上一點P到右焦點的距離為8,則P到左準線的距離為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在空間直角坐標系中,點(1,-2,-3)到原點的距離是
 

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