Question

【題目】選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線．在以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）說明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓， （2）取到最小值為最大值為

【解析】試題分析：（1）利用三角恒等式消元法消去參數(shù)可得曲線的普通方程，再利用放縮公式可得曲線方程，從而可判定是哪一種曲線，利用極坐標(biāo)護(hù)互化公式可得的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）利用的參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式、輔助角公式及三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.

試題解析：（1）因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

因為，則曲線的參數(shù)方程．

所以的普通方程為．

所以為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓．

所以的極坐標(biāo)方程為，即．

（2）解法：直線的普通方程為．

曲線上的點(diǎn)到直線的距離．

當(dāng)即時， 取到最小值為．

當(dāng)即時， 取到最大值為．