Question

2．若對(duì)任意x∈R，不等式$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$＞k恒成立，則k的取值范圍是k＜-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)y=$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$，利用判別式法，求出y的范圍，即可確定k的取值范圍．

解答 解：設(shè)y=$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$，則yx²+（y-1）x+y-1=0．
y=0時(shí)，x=-1；
y≠0時(shí)，△=（y-1）²-4y（y-1）≥0，
∴（y-1）（3y+1）≤0，
∴-$\frac{1}{3}$≤y≤1且y≠0，
綜上，-$\frac{1}{3}$≤y≤1，
∵對(duì)任意x∈R，不等式$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$＞k恒成立，
∴k的取值范圍是k＜-$\frac{1}{3}$．
故答案為：k＜-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了恒成立問題，考查函數(shù)值域的求法，屬中檔題．正確求出函數(shù)值域，是解決本題的關(guān)鍵．