已知函數(shù)f(x)=(2x+a)•ex(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)的極小值;
(2)對區(qū)間[-1,1]內(nèi)的一切實數(shù)x,都有-2≤f(x)≤e2成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求出函數(shù)f(x)的極小值;
(2)分類討論,求出函數(shù)在區(qū)間[-1,1]內(nèi)的最大值與最小值,根據(jù)-2≤f(x)≤e
2成立,即可求實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)f′(x)=(2x+a+2)•e
x,
當(dāng)
時,f′(x)<0,當(dāng)
時,f′(x)>0,
∴函數(shù)在
上為減函數(shù),在
上為增函數(shù),
∴
時,函數(shù)取得極小值,極小值為
;
(2)由(1)知
,即a≥0時,f(x)在[-1,1]上為增函數(shù)
∴f(x)
max=f(1),f(x)
min=f(-1)
∵對區(qū)間[-1,1]內(nèi)的一切實數(shù)x,都有-2≤f(x)≤e
2成立,
∴
∴
∴0≤a≤e-2
,即a≤-4時,f(x)在[-1,1]上為減函數(shù)
∴f(x)
max=f(-1),f(x)
min=f(1)
∵對區(qū)間[-1,1]內(nèi)的一切實數(shù)x,都有-2≤f(x)≤e
2成立,
∴
∴
,無解;
,即-4<a<0時,f(x)在[-1,
)上為減函數(shù),在[
,1)上為增函數(shù)
∴f(x)
max={f(-1),f(1)},f(x)
min=
∴
∴-2≤a<0
綜上,a的取值范圍為-2≤a≤e-2.
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查恒成立問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.