已知函數(shù)f(x)=(2x+a)•ex(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)的極小值;
(2)對區(qū)間[-1,1]內(nèi)的一切實數(shù)x,都有-2≤f(x)≤e2成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求出函數(shù)f(x)的極小值;
(2)分類討論,求出函數(shù)在區(qū)間[-1,1]內(nèi)的最大值與最小值,根據(jù)-2≤f(x)≤e2成立,即可求實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)f′(x)=(2x+a+2)•ex,
當(dāng)時,f′(x)<0,當(dāng)時,f′(x)>0,
∴函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),
時,函數(shù)取得極小值,極小值為
(2)由(1)知,即a≥0時,f(x)在[-1,1]上為增函數(shù)
∴f(x)max=f(1),f(x)min=f(-1)
∵對區(qū)間[-1,1]內(nèi)的一切實數(shù)x,都有-2≤f(x)≤e2成立,


∴0≤a≤e-2
,即a≤-4時,f(x)在[-1,1]上為減函數(shù)
∴f(x)max=f(-1),f(x)min=f(1)
∵對區(qū)間[-1,1]內(nèi)的一切實數(shù)x,都有-2≤f(x)≤e2成立,

,無解;
,即-4<a<0時,f(x)在[-1,)上為減函數(shù),在[,1)上為增函數(shù)
∴f(x)max={f(-1),f(1)},f(x)min=

∴-2≤a<0
綜上,a的取值范圍為-2≤a≤e-2.
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查恒成立問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時f(x)的表達式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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