Question

已知數(shù)列{a_n}滿足，a₁=1，a_n+1=

an

2an+1

，n≥1
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅
（2）猜測(cè)并證明數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（3）證明a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a₁=1，a_n+1=

an

2an+1

，代入計(jì)算，可求a₂，a₃，a₄，a₅
（2）猜測(cè)a_n=

1

2n-1

，證明{

1

an

）是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）利用裂項(xiàng)法求和，即可證明結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=

an

2an+1

，
∴a₂=

1

3

，a₃=

1

5

，a₄=

1

7

，a₅=

1

9

；
（2）猜想a_n=

1

2n-1

．
∵a_n+1=

an

2an+1

，
∴

1

an+1

-

1

an

=2，
∴{

1

an

）是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴

1

an

=2n-1，
∴a_n=

1

2n-1

；
（3）a_na_n+1=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．