Question

【題目】在矩形ABCD中，邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2，1，若M，N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足 = =λ．

（1）當(dāng)λ= 時(shí)，求向量 和 夾角的余弦值；
（2）求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解法一：當(dāng) 時(shí) ，

BC，CD ）

設(shè)向量 和 夾角為θ

則 ）

解法二：以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD為x，y軸建立直角坐標(biāo)系xAy，如圖所示：

則A（0，0），B（2，0），D（0，1）

時(shí)， ，

， ，

設(shè)向量 和 夾角為θ，則

（2）解法一：當(dāng) 時(shí)，因?yàn)镸，N分別是邊上，所以0≤λ≤1．

， ，

，

）

因?yàn)?≤λ≤1

所以 的取值范圍是[0，5]．

解法二：當(dāng) 時(shí)，因?yàn)?M，N分別是邊BC，CD上．所以0≤λ≤1

，

，

因?yàn)?≤λ≤1，所以 的取值范圍是[0，5]

【解析】（1）法1：根據(jù)向量數(shù)量積的公式直接進(jìn)行求解即．法2：建立坐標(biāo)系，求出向量坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行求解．（2）法1：利用三點(diǎn)關(guān)系，建立數(shù)乘向量關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積的定義進(jìn)行求解．法2：利用坐標(biāo)系，求出向量坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行求解．