Question

是否存在常數(shù)a，b，c，使得等式1（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=an⁴+bn²+c對一切正整數(shù)n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：假設(shè)存在a，b，c，使得所給等式成立．通過n=1，2，3，列出方程組，求出abc即可．然后用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=

1

4

n⁴-

1

4

n²對一切正整數(shù)n都成立．

解答： 解：假設(shè)存在a，b，c，使得所給等式成立．
令n=1，2，3代入等式得

a+b+c=0 16a+4b+c=3 81a+9b+c=18

，解得

a= 1 4 b=- 1 4 c=0

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=

1

4

n⁴-

1

4

n²對一切正整數(shù)n都成立．
（1）當(dāng)n=1時，由以上可知等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即1（k²-1²）+2（k²-2²）+…+k（k²-k²）=

1

4

k⁴-

1

4

k²，
則當(dāng)n=k+1時，1[（k+1）²-1²]+2[（k+1）²-2²]+…+（k+1）[（k+1）²-（k+1）²]=

1

4

（k+1）⁴-

1

4

（k+1）²
=1（k²-1²）+2（k²-2²）+…+k（k²-k²）+（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=

1

4

k⁴-

1

4

k²+（2k+1）

k(k+1)

2

=

1

4

(k+1)4-

1

4

(k+1)2．
由（1）（2）知，等式結(jié)一切正整數(shù)n都成立．

點評：本題是探索性命題，它通過觀察歸納、猜想、證明這一完整的思路過程去探索和發(fā)現(xiàn)問題，并證明所得結(jié)論的正確性，這是非常重要的一種思維能力．