Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x，△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，a=2

3

．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值時(shí)相應(yīng)x值的集合；
（2）若f（A）=2，b+c=6，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）首先根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換，變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出最值和對(duì)應(yīng)的區(qū)間．
（2）直接利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用余弦定理求出bc的值，進(jìn)一步求出三角形的面積．

解答： 解：（1）f(x)=

3

sin2x+cos2x+1
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+1=2sin(2x+

π

6

)+1
∴f(x)max=3，此時(shí)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z
∴f(x)max=3，x的取值集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}
（2）f(A)=2，即sin(2A+

π

6

)=

1

2

由

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

在△ABC中，由余弦定理a²=b²+c²-bc
又b+c=6，a=2

3

∴12=（b+c）²-3bc=36-3bc，
bc=8
所以S△ABC=

1

2

bcsinA=2

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的最值，余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．