Question

如圖，在三棱柱ABC=A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求棱AA₁與BC所成的角的大小；
（2）在棱B₁C₁上確定一點P，使二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值為

3 10

10

．

Answer 1

分析：（1）如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則 C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），可得

AA1

=（0，2，2），

BC

=

B1C1

=（2，-2，0）．
利用向量的夾角公式即可得出；
（2）利用共線定理和兩個平面的法向量的夾角公式即可得出二面角的平面角．

解答：解：（1）如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，
則 C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），

AA1

=（0，2，2），

BC

=

B1C1

=（2，-2，0）．
∴cos＜

AA1

，

BC

＞=

AA1 • BC

| AA1 | | BC |

=

-4

8 • 8

=-

1

2

，
故AA₁與棱BC所成的角是

π

3

．
（2）設

B1P

=λ

B1C1

=（2λ，-2λ，0），則P（2λ，4-2λ，2）．
設平面PAB的法向量為

n1

=（x，y，z），

AP

=(2λ，4-2λ，2)，
則

n1 • AP =λx+(2-λ)y+z=0 n1 • AB =2y=0

，
令x=1，則z=-λ，y=0．∴

n1

=(1，0，-λ)，
而平面ABA₁的法向量是

n2

=（1，0，0），
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | | n2 |

=

1

1+λ2

=

3 10

10

，解得λ=

1

3

，
即P為棱B₁C₁三等分點，其坐標為P(

2

3

，

10

3

，2)．

點評：本題考查了通過建立空間直角坐標系利用向量的夾角公式即可得出異面直線所成的角、二面角等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．