Question

已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f（x）=ax（x-2）²（x∈R）．
（Ⅰ）若f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線與直線27x+y-8=0平行，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若對任意x∈[-2，1]，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求函數(shù)f（x）的極值，只須求出a值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而可求出a值，先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，求出極值．
（II）題中條件：“對任意x∈[-2，1]，不等式恒成立”應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，須對字母a進行討論：a＜0和a＞0．再分別求出函數(shù)f（x）的最大值，最后讓最大值小于，得到a的不等式即可解得實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴．
∴f′（1）=-a=-27，得a=27
∴f（x）=27x（x-2）²（x∈R）（2分）
令fn（x）=0得，
∴或x=2．
又函數(shù)f（x）在上為增函數(shù)，
在上為減函數(shù)，
在（2，+∞）上為增函數(shù)． （4分）
∴f（x）在時取得極大值，．
在x=2時取得極小值f（2）=0；（6分）
（Ⅱ）由，知
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）在上是增函數(shù)，
在上是減函數(shù)．
此時，．
又對?x∈[-2，1]，不等式恒成立．
∴，得，
∴． （9分）
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）在上是減函數(shù)，
在上是增函數(shù)．
又f（-2）=-32a，f（1）=a，此時，y_max=f（-2）=-32a．
又對?x∈[-2，1]，不等式恒成立．
∴得，∴．
故所求實數(shù)的取值范圍是． （12分）
點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、兩條直線平行的判定等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．