Question

已知函數f（x）=x|x-1|-1．
（1）求滿足f（x）=x的x值；
（2）寫出函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）解不等式f（x）＜0（結果用區(qū)間表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）討論x的范圍，將絕對值去掉得到分段函數，然后求解方程f（x）=x，即可求出滿足條件的x；
（2）分段研究該函數的單調性，從而求出該函數的單調區(qū)間；
（3）當x≥1時，解不等式x²-x-1＜0，當x＜1時，由-x²+x-1＜0得x²-x+1＞0，恒成立，從而求出滿足條件的x的范圍．
解答：解：（1），…（1分）
所以，當x≥1時，由f（x）=x得x²-x-1=x，x²-2x-1=0，解得，
因為x≥1，所以．…（2分）
當x＜1時，由f（x）=x得-x²+x-1=x，x²=-1，無實數解．…（3分）
所以，滿足f（x）=x的x值為．…（4分）
（2）由，
當x≥1時，f（x）的單調遞增區(qū)間為[1，+∞）；…（6分）
當x＜1時，f（x）的單調遞增區(qū)間為．…（8分）
所以，f（x）的單調遞增區(qū)間是和[1，+∞）．…（9分）
（3）當x≥1時，由x²-x-1＜0得，…（12分）
當x＜1時，由-x²+x-1＜0得x²-x+1＞0，恒成立．…（15分）
所以，不等式f（x）＜0的解集為．…（16分）
點評：本題主要考查了含絕對值的函數的單調性以及解方程，同時考查了分段討論的思想，屬于中檔題．