19．在△ABC中，已知|AB|=4$\sqrt{2}$，A（-2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0），且三內(nèi)角A，B，C滿足sinB-sinA=$\frac{1}{2}$sinC，求頂點(diǎn)C的軌跡方程．

分析 由sinB-sinA=$\frac{1}{2}$sinC，由正弦定理可得：|CA|-|CB|=$\frac{1}{2}$|AB|=2$\sqrt{2}$＜|AB|．即可得到頂點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支．

解答 解：∵sinB-sinA=$\frac{1}{2}$sinC，
由正弦定理可得：|CA|-|CB|=$\frac{1}{2}$|AB|=2$\sqrt{2}$＜|AB|．
∴頂點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，a=$\sqrt{2}$，c=2$\sqrt{2}$，
∴b=$\sqrt{6}$，
∴頂點(diǎn)C的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{6}$=1（x≥$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、正弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

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