Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，BC⊥平面PAB，且PA=PB=3，O是AB的中點，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，BC=1，AB=2，AD=3
（1）證明：平面PCD⊥平面POC；
（2）求二面角C-PD-O的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）利用側面PAB⊥底面ABCD，可證PO⊥底面ABCD，從而可證PO⊥CD，利用勾股定理，可證OC⊥CD，從而利用線面垂直的判定，可得CD⊥平面POC，進而由面面垂直的判定定理得到平面PCD⊥平面POC；
（2）建立坐標系，確定平面OPD、平面PCD的一個法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角O-PD-C的余弦值；

解答： 證明：（1）∵PA=PB=，O為AB中點，
∴PO⊥AB，
∵側面PAB⊥底面ABCD，PO?側面PAB，側面PAB∩底面ABCD=AB，
∴PO⊥底面ABCD，
∵CD?底面ABCD，∴PO⊥CD，
在Rt△OBC中，OC²=OB²+BC²=2，
在Rt△OAD中，OD²=OA²+AD²=10，
在直角梯形ABCD中，CD²=AB²+（AD-BC）²=8，
∴OC²+CD²=OD²，
∴△ODC是以∠OCD為直角的直角三角形，
∴OC⊥CD，
∵OC，OP是平面POC內的兩條相交直線，
∴CD⊥平面POC，
又∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面POC；…（6分）
解：（2）如圖建立空間直角坐標系O-xyz，則P（0，0，2

2

），D（-1，3，0），C（1，1，0）
∴

OP

=（0，0，2

2

），

OD

=（-1，3，0），

CP

=（-1，-1，2

2

），

CD

=（-2，2，0）
假設平面OPD的一個法向量為

m

=（x，y，z），平面PCD的法向量為

n

=（a，b，c），則
由

m • OP =0 m • OD =0

，可得

2 2 z=0 -x+3y=0

，令x=3，得y=1，z=0，則

m

=（3，1，0），
由

n • CP =0 n • CD =0

，可得

-a-b+2 2 c=0 -2a+2b=0

，令a=2，得b=2，c=

2

，
即

n

=（2，2，

2

）
∴cos＜

m

，

n

＞=

| m • n |

| m |•| n |

=

8

10

=

4

5

，
故二面角O-PD-C的余弦值為

4

5

．…（12分）

點評：本題考查面面垂直，線面垂直，考查面面角，考查向量方法解決空間角問題，正確運用線面垂直的判定是關鍵．