Question

如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥面ABC，DB∥AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F(xiàn)為CD中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥平面BCD；
（2）求平面ECD和平面ACB所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）找BC中點(diǎn)G點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，證明EF∥AG，然后證明AG⊥平面BCD，說明EF⊥平面BCD．
（2）以H為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出C，E，F(xiàn)，

ED

，

CF

的坐標(biāo)，設(shè)平面CEF的法向量為

n

=(x，y，z)，利用

CE • n =0 CF • n =0

，求出

n

，說明平面ABC的法向量為

u

=(0，0，1)，利用cos(

n

，

u

)=

n • u

| n || u|

，即可得到平面角ECD和平面ACB所成的銳二面角的余弦值．

解答：解：（1）找BC中點(diǎn)G點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G
∴F，G分別為DC，BC中點(diǎn)
∴F

G

∥ =

1

2

D

B

∥ =

EA
∴四邊形EFGA為平行四邊形∴EF∥AG
∵AE⊥平面ABC，BD∥AE
∴DB⊥平面ABC，
又∵DB?平面BCD．
∴平面ABC⊥平面BCD
又∵G為BC中點(diǎn)且AC=AB=BC∴AG⊥BC
∴AG⊥平面BCD
∴EF⊥平面BCD
（2）以H為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則C(

3

2

，0，0)，E(0，-

1

2

，1)，F(xiàn)(

3

4

，

1

4

，1)，

ED

(-

3

2

，-

1

2

，1)，

CF

(-

3

4

，

1

4

，1)
設(shè)平面CEF的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

CE • n =- 3 2 x- 1 2 y+z=0 CF • n =- 3 4 x- 1 4 y+z=0

得

n

=(

3

，-1，1)
平面ABC的法向量為

u

=(0，0，1)
則cos(

n

，

u

)=

n • u

| n || u|

=

1

5

=

5

5

∴平面角ECD和平面ACB所成的銳二面角的余弦值為

5

5

．

點(diǎn)評：本題考查用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和計(jì)算能力．