Question

已知函數(shù)．
（1）試討論f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）求f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出極值點(diǎn)，對(duì)a進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，對(duì)a進(jìn)行討論，利用圖象求出最小值；
解答：解：（1）∵函數(shù)．
∴f′（x）=+=，
若a＞0，可得
當(dāng)x＞a時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
若a≤0，-a≥0，f′（x）＞0恒成立，f（x）為增函數(shù)；
（2）若a≤0，f（x）為增函數(shù)，f（x）_min=f（1）=a；
若0＜a≤1時(shí)，f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
f（x）_min=f（1）=a；
若1＜a＜e時(shí)，f（x）在x=a處取得極小值也是最小值，
f（x）_min=f（a）=lna+1；
若a≥e，時(shí)，f（x）在[1，e]上為減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（e）=1+；
綜上：
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其最值問題，是一道中檔題，解題過程中用到了分類討論的思想，這是高考的熱點(diǎn)問題；