Question

6．學(xué)校生態(tài)園計(jì)劃移栽甲乙兩種植物各2株，設(shè)甲、乙兩種植物的成活率分別是$\frac{2}{3}$和$\frac{1}{2}$，且各株植物是否成活互不影響，求移栽的4株植物中：
（1）恰成活一株的概率；
（2）成活的株數(shù)的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）甲兩株中活一株符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，概率為${C}_{2}^{1}$$\frac{2}{3}$$\frac{1}{3}$，同理可算乙兩株中活一株的概率，兩值相加即可；
（2）確定ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，即可求出成活的株數(shù)ξ的分布列與期望．

解答 解：設(shè)A_k表示甲種植物成活k株，k=0，1，2，B_l表示甲種植物成活l株，l=0，1，2，
則A_k與B_l相互獨(dú)立，$P（{A_k}）=C_2^k{（\frac{2}{3}）^k}{（\frac{1}{3}）^{2-k}}$，$P（{B_l}）=C_2^l{（\frac{1}{2}）^l}{（\frac{1}{2}）^{2-l}}$，
（1）設(shè)甲成活的概率是p（A₁），乙成活的概率為$p（{B_l}）=C_2^l{（\frac{1}{2}）^l}{（\frac{1}{2}）^{2-l}}$，$P=P（{A_0}）P（{B_1}）+P（{A_1}）P（{B_0}）=\frac{1}{9}×\frac{1}{2}+\frac{4}{9}×\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$；
（2）設(shè)成活的株數(shù)為ξ，則ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4.$P（ξ=0）=\frac{1}{36}$$P（ξ=1）=\frac{1}{6}$$P（ξ=2）=\frac{13}{36}$$P（ξ=3）=\frac{1}{3}$$P（ξ=4）=\frac{1}{9}$，

ξ	0	1	2	3	4
$p（{B_l}）=C_2^l{（\frac{1}{2}）^l}{（\frac{1}{2}）^{2-l}}$	$\frac{1}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$

綜上的分布列為Eξ=$0×\frac{1}{36}+1×\frac{1}{6}+2×\frac{13}{36}+3×\frac{1}{3}+4×\frac{1}{9}=\frac{7}{3}（株）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變量的期望，其中在求隨機(jī)變量ξ的分布列時(shí)，對(duì)隨機(jī)變量的每一個(gè)取值，要注意不重不漏，以便準(zhǔn)確的計(jì)算出ξ取得各值時(shí)的概率，這也是計(jì)算分布列及數(shù)學(xué)期望時(shí)最容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤．