已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）設函數(shù)．若至少存在一個，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

（1）,（2）當時，在上單調(diào)遞減,若，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．若，在上單調(diào)遞增．（3）.

解析試題分析：（1）利用導數(shù)幾何意義求切線斜率，根據(jù)點斜式寫切線過程. 函數(shù)的定義域為，．當時，函數(shù)，，．所以曲線在點處的切線方程為,即．（2）利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，關鍵明確導函數(shù)零點與定義域的關系，正確判斷導數(shù)符號. 當時，,,當時,若，由，即，得或；由，即，得．若，,.（3）存在性問題，利用變量分離轉化為求函數(shù)最值. 因為，等價于.令，等價于“當 時，”. 因為當時，，所以，因此.
函數(shù)的定義域為，．   1分
（1）當時，函數(shù)，，．
所以曲線在點處的切線方程為，
即．         4分
（2）函數(shù)的定義域為．
1.當時，在上恒成立，
則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減．     5分
2.當時，，
（ⅰ）若，
由，即，得或；      6分
由，即，得．         7分
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.
(1)當a＝0時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率；
(2)當a≠時，求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ln x＋2x，g(x)＝a(x2＋x)．
(1)若a＝，求F(x)＝f(x)－g(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若f(x)≤g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（14分）（2011•廣東）設a＞0，討論函數(shù)f（x）=lnx+a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，.
（1）當時，證明：；
（2）若，求k的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù) ().
（1）若,求函數(shù)的極值;
（2）設．
① 當時,對任意,都有成立,求的最大值;
② 設的導函數(shù).若存在,使成立,求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中且.
（1）討論的單調(diào)性；
(2) 若不等式恒成立，求實數(shù)取值范圍；
（3）若方程存在兩個異號實根，，求證：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）當a=l時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）令，是否存在實數(shù)a，當(e是自然對數(shù)的底數(shù))時，函數(shù)g(x)最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)(為常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在點處的切線與軸平行．
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設,其中為的導函數(shù)．證明:對任意．

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